limit comparison test ne demek?

Limit Karşılaştırma Testi (LKT)

Limit Karşılaştırma Testi (LKT), sonsuz serilerin yakınsaklığını veya ıraksaklığını belirlemek için kullanılan bir yöntemdir. Özellikle, terimleri benzer davranışa sahip bilinen bir seriyle karşılaştırmak için kullanışlıdır.

Teori:

Pozitif terimli iki sonsuz seri düşünelim: Σaₙ ve Σbₙ.

Eğer:

lim (n→∞) (aₙ / bₙ) = c

ve 0 < c < ∞ (c sonlu ve sıfırdan farklı bir sayı) ise, o zaman Σaₙ ve Σbₙ serileri ya her ikisi de yakınsar ya da her ikisi de ıraksar.

Açıklama:

• Pozitif Terimler: LKT, sadece pozitif terimli seriler için geçerlidir.
• Limitin Varlığı ve Değeri: Limitin var olması ve 0 ile sonsuz arasında bir değer olması önemlidir. Eğer limit 0 veya sonsuz ise, test sonuçsuz kalabilir ve başka bir test kullanmak gerekebilir.
• Karşılaştırma Serisi (Σbₙ): LKT'yi kullanabilmek için, yakınsaklığı veya ıraksaklığı bilinen bir karşılaştırma serisine (Σbₙ) ihtiyacınız vardır. Genellikle p-serisi (https://www.nedemek.page/kavramlar/p-serisi) veya geometrik seri (https://www.nedemek.page/kavramlar/geometrik%20dizi) gibi seriler karşılaştırma için kullanılır.

Nasıl Kullanılır:

1. Yakınsaklığı veya ıraksaklığı belirlenmek istenen seriyi (Σaₙ) belirleyin.
2. Σaₙ serisi ile benzer davranışa sahip, yakınsaklığı veya ıraksaklığı bilinen bir karşılaştırma serisi (Σbₙ) seçin.
3. lim (n→∞) (aₙ / bₙ) limitini hesaplayın.
4. Eğer limit 0 < c < ∞ ise, Σaₙ ve Σbₙ serileri ya her ikisi de yakınsar ya da her ikisi de ıraksar. Σbₙ'nin davranışına bağlı olarak Σaₙ'nin davranışını belirleyebilirsiniz.

Örnek:

Σ (1 / (n² + 1)) serisinin yakınsaklığını inceleyelim.

Karşılaştırma serisi olarak Σ (1 / n²) (p-serisi, p=2 > 1 olduğundan yakınsak) seçebiliriz.

lim (n→∞) ((1 / (n² + 1)) / (1 / n²)) = lim (n→∞) (n² / (n² + 1)) = 1

Limit 1 (0 < 1 < ∞) olduğundan, Σ (1 / (n² + 1)) serisi de yakınsaktır.

Avantajları:

• Uygulaması nispeten kolaydır.
• Çok çeşitli seriler için kullanılabilir.

Dezavantajları:

• Karşılaştırma serisi seçimi önemlidir ve bazen zor olabilir.
• Limitin 0 veya sonsuz olması durumunda test sonuçsuz kalır.
• Sadece pozitif terimli seriler için geçerlidir. Mutlak yakınsaklık (https://www.nedemek.page/kavramlar/mutlak%20yakınsaklık) incelemesi gerektiren serilerde direkt kullanılamaz.